2016高三数学集合复习资料大全

时间:2023-03-09 08:13:46 | 来源:草料作文网

  第1讲 集 合
  一.【课标要求】
  1.集合的含义与表示
  (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
  (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用;
  2.集合间的基本关系
  (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
  (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义;
  3.集合的基本运算
  (1(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
  (3)能使用Venn二.【命题走向】
  的直观性,注意运用Venn预测2010题的表达之中,相对独立。具体题型估计为:
  (1)题型是1个选择题或1(2
  三.【要点精讲】
  1
  (1a的元素,记作aA;若b不是集合A的元素,记作bA;
  (2
  确定性:设x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A
  指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,
  无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
  (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
  列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
  描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内。
  具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
  注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
  (4)常用数集及其记法:
  非负整数集(或自然数集),记作N;
  正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;
  有理数集,记作Q;
  实数集,记作R。
  2.集合的包含关系:
  (1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或AB);
  集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作A B; (2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
  3.全集与补集:
  (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
  (2)若S是一个集合,AS,则,CS=x|xS且xA称SA的补集;
  (3)简单性质:1)CSCS=A;2)CSS=,CS=S
  4.交集与并集:
  (1)一般地,由属于集合A且属于集合BA与B的交集。交集ABx|xA且xB。
  (2)一般地,由所有属于集合AA与B的并集。并集ABx|xA或xB
  的关键是“且”与“或”挖掘题设条件,结合Venn
  5.集合的简单性质:
  (1)AAA,BBA;
  (2)ABBA;
  (3)AAB;
  (4)ABABA;ABABB;
  (5)CS(A∩B)=(CSA)∪(CSB),CS(A∪B)=(CSA)∩(CSB)。
  四.【典例解析】
  题型1:集合的概念
  2009湖南卷理某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__
  答案 :12解析 设两者都喜欢的人数为x人,则只喜爱篮球的有15x人,只喜爱乒乓球的有
  由此可得15x10xx830,解得x3,所以15x12,即 所10x人,
  求人数为12人。 例1.(2009广东卷理)已知全集UR,集合Mx2x12和
  Nxx2k1,k1,2,的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有

  A. 3个C. 1个答案解析 由
  例2.的值 为 答案 D
  解析 ∵D.
  ,
  题型2:集合的性质
  2例3.2009山东卷理集合A0,2,a,B1,a,若AB0,1,2,4,16,则a的值为 
  A.0 B.1 C.2 D.4
  答案 D
  2 a216解析 ∵A0,2,a,B1,a,AB0,1,2,4,16∴∴a4,故选D.
  a4
  【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
  随堂练习
  1. 广东地区2008年01月份期末试题汇编设全集U=R,A=x∈N︱1≤x≤10,B= x∈R︱x
  2+ x-6=0,则下图中阴影表示的集合为 ( )
  A.2 B.3
  C.-3,2 D.-2,3
  2. 已知集合A=y|y-a+a+1y+aa+1>0,B=y|y-6y+8≤0,若2222 A∩B≠φ,则实数a的取值范围为( ).

  解

  A∩B=φa由a∴a即A∩B其补集,评注
  例4.已知全集S1,3,x3x22x,A=1,2x如果CSA0,则这样的实数x是否存在?若存在,求出x,若不存在,说明理由
  解:∵CSA0;
  ∴0S且0A,即xx2x=0,解得x10,x21,x32
  当x0时,2x1,为A中元素;
  当x1时,2x3S当x2时,2x3S
  ∴这样的实数x存在,是x1或x2。
  另法:∵CSA0
  ∴0S且0A,3A
  ∴xx2x=0且2x3
  ∴x1或x2。
  点评:该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x0时,322x1”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CSA0是两层含义:

  0S且0AB,求q的值。解:由m(1)m解(1)得解(2)得又因为当q所以,q题型3例5.A,函数gx(1)求集合A、B
  (2)若AB=B,求实数a的取值范围.
  解 (1)A=x|x1或x2
  B=x|xa或xa1 
  (2)由AB=B得Aa1B,因此a12所以1a1,所以实数a的取值范围是1,1
  例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合A1,3,5,7,9,B0,3,6,9,12,则AICNB
  A.1,5,7 B.3,5,7
  C.1,3,9 D.1,2,3
  答案 A
  解析 易有ACNB1,5,7,选A

  题型4例7.(1,则
  MN)
  A.C. 答案
  例8设全集合Bx|解:|a1∴Acosx1,x2k,∴x2kkz
  ∴Bx|x2k,kz
  当a1时,CA[a2,a]在此区间上恰有2个偶数。
  a12a0 aa2
  4a222、Aa1,a2,,2,,k,由A中的元素构成两个相应,akk≥2,其中aiZi1
  的集合:
  Sa,baA,bA,abA,Ta,baA,bA,abA.其中a,b是有序数对,集合S和T中的元素个数分别为m和n.若对于任意的aA,总有aA,则称集合A具有性质P.
  (I)对任何具有性质P的集合A,证明:n≤kk1; 2
  (II)判断m和n的大小关系,并证明你的结论.
  解:(I

  因为0又因时,aj,即n≤(II(1T. 如果ab故a可见,(2)对于a,bT,根据定义,aA,bA,且abA,从而ab,bS.如果a,b与c,d是T的不同元素,那么ac与bd中至少有一个不成立,从而abcd与bd中也不至少有一个不成立,
  故ab,b与cd,d也是S的不同元素.
  可见,T中元素的个数不多于S中元素的个数,即n≤m,
  由(1)(2)可知,mn.
  例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?
  解:赞成A的人数为50×3=30,赞成B的人数为530+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集B。
  设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B
  不赞成的学生人数为事合都x+1,赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为3
  x33-x。依题意30-x+33-x+x+

  
  +1=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人,例10 -200+200题型7例11a解:由由2x1<1,得<0,即-2  a22,于是0≤a≤1。
  a23因为AB,所以
  点评:这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。
  例12.已知an是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn,设集合A=an,Sn1|n∈N*,B=x,y| x2-y2=1,x,y∈R。 4n试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明: (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B至多有一个元素;
  (3)当a1≠0时,一定有A∩B≠。
  na1anSS1
  ,则na1+an,这表明点an,n的2n2n
  S111
  坐标适合方程yx+a1,于是点an, n均在直线y=x+a1上。
  222n
  11yxa122(2)正确;设x,y∈A∩B,则x,y中的坐标x,y应是方程组的解,由方程组1

  x2y21解:(1)正确;在等差数列an中,Sn=消去y得:当a1当a1,故

  ∴A∩(3A据2样的x0,y0的。
  的取值范围.
  分析:关键是准确理解AB 的具体意义,首先要从数学意义上解释AB意义,然后才能提出解决问题的具体方法。 解:
  的
  命题方程x22x2m40至少有一个负实数根,
  设Mm|关于x的方程x22x2m40两根均为非负实数, 42m303
  则x1x2202m,
  2
  x1x22m40
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  33
  Mm|2m设全集Um|0m|m
  22
  m的取值范围是
  UM=m|m<-2.
  解法二命题方程的小根x12m302m312m31m2.
  (解法三)设fxx22x4,这是开口向上的抛物线,其对称轴x10,则二次函数性质知命题又等价于f00m2,
  注意,在解法三中,fx的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单。
  (Ⅱ)已知两个正整数集合A=a1,a2,a3,a4,
  Ba1,a2,a3,a4,其中a1a2a3a4
  若ABa1,a4,且a1a410,且AB,A、B.
  注意“正整数”这个条件的运用,
  2222
  1a1a2a3a4,a1a2a3a4,ABa1,a4,只可能有a1a1a12
  而a1a410,a49,a4a,
  21若a2a4,则a23,ABa3,,
  2
  2
  222
  a3a394124a35;
  2若a3a4,则a33,a23,与条件矛盾,不合;综上,A1,3,5,9,B,81(Ⅲ)设集合A1,Bx,y|4x2x2y50,
  2
  2
  2
  Cx,yk,b,使ABC分析:正确理解ABC
  ,
  ,并转化为具体的数学问题.
  ,必须AC
  且BC
  ,
  要使ABCACBC
  y2x1由k2x22kb1xb210, ykxb
  当k=0时,方程有解xb1,不合题意;
  2
  4k21
  当k0时由12kb14kb10得b①
  4k
  2
  2
  2
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  4x22x2y50又由4x221kx52b0,
  ykxb
  20k12
  由241k1652b0得b②,
  8
  2
  由①、②得bk
  1201,而b, 4k8
  ∵b为自然数,∴b=2,代入①、②得k=1
  点评:这是一组关于集合的“交、并”的常规问题,解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容,才能由此寻求解决的方法。 题型6

  例13B=C=D=则集合A、例14[1,2],都有2x,都有
  |2x1(1)设(2)设0000(3)设xA,任取xl1,2,令xn12xn,n1,2,,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|xkl
  解:
  对任意x[1,2],2x2x,x[1,2],32x5,152,所以
  Lk1
  xk||x2x1|H。
  1L
  2x1,2
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  对任意的x1,x2[1,2],
  |2x12x2||x1x2|
  3
  2
  12x12
  12x11x21x22
  ,
  12x12
  12x11x21x2,
  3 所以0<
  2
  12x12
  12x11x21x22
  
  2,

  3
  0|LK1x2x1。 1L
  点评:函数的概念是在集合理论上发展起来的,而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中,题目比较新颖
  五.【思维总结】
  集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题。
  1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如、、
  、、=、CSA、∪,∩等等;
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  2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解);
  3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
  ① 区别∈与、与、a与a、φ与φ、1,2与1,2; ② AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
  ③若集合A中有nnN个元素,则集合A的所有不同的子集个数为2,所有真子集

  n
  A的 ;

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