高一数学上册知识点必修五：空间点直线平面之间的位置关系

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　　1.平面

　　1平面概念的理解

　　直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分。

　　抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄。

　　2平面的表示法

　　①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面。

　　②字母表示：常用等希腊字母表示平面。

　　3涉及本部分内容的符号表示有：

　　①点A在直线l内，记作；

　　②点A不在直线l内，记作；

　　③点A在平面内，记作；

　　④点A不在平面内，记作；

　　⑤直线l在平面内，记作；

　　⑥直线l不在平面内，记作；

　　注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系。

　　4平面的基本性质

　　公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

　　符号表示为：．

　　注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线。

　　公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

　　符号表示为：直线AB存在的平面，使得。

　　注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面。

　　公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

　　注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作。

　　公理的推论：

　　推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。

　　推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

　　推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

　　2．空间直线

　　1空间两条直线的位置关系

　　①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为;

　　②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b;

　　③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

　　2平行直线

　　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

　　符号表示为：设a、b、c是三条直线。

　　定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

　　3两条异面直线所成的角

　　注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]。

　　②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出。

　　③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：

　　i在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点。

　　ii分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现。

　　iii指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围。

　　3．空间直线与平面

　　直线与平面位置关系有且只有三种：

　　1直线在平面内：有无数个公共点；

　　2直线与平面相交：有且只有一个公共点；

　　3直线与平面平行：没有公共点。

　　4．平面与平面

　　两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

　　1两个平面平行：没有公共点；

　　2两个平面相交：有一条公共直线。

　　练习题：

　　1．在下列命题中，不是公理的是

　　A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

　　B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

　　C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

　　D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

　　解析：B、C、D都是公理，只有A不是．

　　答案：A

　　2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是

　　①P∈a，P∈α⇒a⊂α

　　②a∩b＝P，b⊂β⇒α⊂β

　　③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

　　④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

　　A．①②

　　B．②③

　　C．①④D．③④

　　解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；

　　∵a∥b，P∈b，∴P∉a，

　　∴由直线a与点P确定平面α，

　　又a∥b，由a与b确定平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

　　两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

　　答案：D